Xiaomiのスマホ限定ですが、YouTube Premiumの加入せずともYouTubeをバックグラウンド再生する方法を案内します。
Xiaomiのスマホにデフォルトで入っている『ミュージック』というアプリを使います。
アイコンはYouTube Musicそっくりのやつ↓

【Xiaomi限定】ミュージックアプリでバックグラウンド再生する手順
『ミュージック』アプリを開いたら、画面右下の『視聴』をタップします。

バックグラウンド再生したい曲を検索します(一瞬「空です」と表示されますが、ちょっと待つと検索結果が表示されます)。

好きな動画(曲)をタップし、再生します。

動画(曲)を再生した状態で、ホーム画面に戻っても、バックグラウンド再生が継続します。

しばらく待つとアイコンが最小化されてさほど邪魔にならなくなります。

Mi Music
ホーム画面ではYouTube Musicっぽいアイコンで『ミュージック』というアプリ名になっていますが、Google Playストア上ではTikTokぽいアイコンで『Mi Music』という表記となっています。

おわりに
ミュージック(Mi Music)でYouTubeのバックグラウンド再生をする方法でした。
音楽のバックグラウンド再生は有料のアプリが多いので、これを無料でできちゃうXiaomiのスマホはお得感あります。
私的には『Mi 11 Lite 5G』がコスパ良く軽くて薄くてカメラ性能良しで推しです。OCNモバイルONEかIIJmioで買うとやたら安いwので気になる場合は除いてみてください。